1. 证明 $\dsum_{j \in S} \pi_j \le 1$.

由定理 3.5.2 推论 2, 记 $\pi_j = \nlim p_{ij}^{(n)} = \dfrac{1}{\mu_j}$, 则对于 $\forall n, M$, 有

固定 $M$, 令 $n \to \infty$, 于是

再令 $M \to \infty$, 于是

2. 证明 $\pi_j \ge \dsum_{l \in S} \pi_l p_{lj}$.

由 C-K 方程, 有

令 $n \to \infty$, 于是

再令 $M \to \infty$, 于是

3. 证明满足方程 $\pi_j = \dsum_{i \in S} \pi_i p_{ij}^{(n)}$.

在上式两端乘以 $p_{ji}$ 并对 $j$ 求和, 于是

重复上述步骤, 于是

若 $\pi_j \gt \dsum_{i \in S} \pi_i p_{ij}^{(n)}$, 则

矛盾, 于是 $\forall j \in S, n \in \N^+$, 有

4. 证明满足条件 $\dsum_{i \in S} \pi_i = 1$.

由于 1. 中证明了 $\dsum_{j \in S} \pi_i \le 1$, 且 $p_{ij}^{(n)}$ 关于 $n$ 一致有界, 于是在上式中令 $n \to \infty$, 有

由于 $\pi_j > 0$, 从而得到

5. 证明唯一性.

设 $\Bqty{v_i}$ 是满足条件的另一组解, 则由 3. 类似可得

令 $n \to \infty$, 于是有

证毕.